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十一年級

發佈日期:2020-10-11

我們這一班~十一年級


解析幾何海之聲3                                   

 

    「數學是工具嗎?」

 

    如果數學是工具,那麼當計算機可以快速地處理解方程式並繪出幾何圖形之後,還需要數學課嗎?在數學課堂中的手作手算手繪,還有意義嗎?有人說保持這些「傳統手工藝」,是培養邏輯的方式,也說可以培養數感。

 

    數感與邏輯,是可以同時存在的嗎?如果是,那同時存在的狀態是甚麼?那是數學教育的核心嗎?要如何達到呢?透過「傳統手工藝」的方式,能走到那裏嗎?

 

    九年級時,我們經過圓、橢圓、拋物線、雙曲線,都是圓在改變離心率時的形變,離心率由焦距與長軸定義。當兩個焦點合一時,是圓,分離時為橢圓,距離越遠,橢圓越扁,直到其中一個焦點到無窮遠處時,橢圓形變成了拋物線;焦點從無窮遠處回來後,拋物線形變為雙曲線,再回到圓。

 

    伴隨著九年級的離心率證明,是畢氏定理。畢氏定理,在不同的年級,有著不同形貌的展現,各位還記得,七年級時是直角三角形與各種證明,八年級的最後出現了各種特殊三角形與無理數,九年級時是離心率,十年級時是餘弦定理,此時,畢氏定理也就是直角坐標平面上的圓。

 

    若圓方程式就是畢氏定理,而圓錐曲線是相應著畢氏定理的離心率形變。那麼,圓錐曲線就應是畢氏定理的形變。

 

    我們帶著這樣的整體感,以直角坐標平面上的軌跡方法找出橢圓與雙曲線方程式,發現當年在圓錐曲線課程中繪製過的四則運算圖形(即橢圓為加法曲線,雙曲線為減法曲線,卡西尼卵形線為乘法曲線,阿波羅尼厄斯曲線為除法曲線),可以在直角座標方程式中清楚地改變中心與長短軸,精準地繪出圖形。

 

    整體把握與精準分析,或說是感性與理性,直觀想像與分析思考,可以同時存在,而且需要同時存在,因為後者協助了前者更為清楚,前者讓後者有所方向。當兩者逐漸合一時,帶來一種很特別的狀態,這狀態,有些人說是見山是山不是山又是山,這狀態,也許可說是:「自由。」

   

    黑板上,留下了一整大面的證明過程,每個步驟到每個步驟的原因,條分縷晰:「工作本的核心,就是為了完全不懂這門課的人而寫。」我說:「因為,我們每個人都有不同的理解歷程,若我至少要記錄下我學會的過程,甚至,要能去自我中心,想像為完全不懂這門課的人,清楚地說明每個思考過程。」

 

    你看著黑板上密密麻麻的證明過程,猶如看見峽谷的壯觀,我們佩服其心思的細緻縝密,驚嘆其巍峨的山勢吞吐天地。其實我們讀了一篇很美麗的文章,出自於人手,源於自然宇宙。

   

    數學,是自由與美。

 

主課老師: 江昌倫

 

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