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十二年級

發佈日期:2020-09-06

我們這一班~十二年級

 

微積分第二                                  2020秋  江昌倫

   

    若將一條線無限切分後,我們會有無限小的點,無限多個無限小的點,成為了這條線。

 

    那麼兩條不等長的線,各自無限切分後,我們也會有無限小的點,那麼無限多個無限小的點,會是回到原本不等長的線?或是等長的線呢?

 

    無限小到底是甚麼呢?若無限小是極小極小的量,那麼無限多個極小的量,不就會是無限大嗎?但很明顯的,這條線就是這條線,並不是無限大。那麼,無限小是零嗎?若無限小是零,那麼無限多個零,仍然是零呀…。

 

    上週我們談到,在平面與立體間的維度變化:「不侷限於以斜率(Tangent)介紹微積分,而探尋其他的可能」當高是多少的時候,會讓一張矩形的紙,出現最大的體積呢?

 

    若最大體積時高為h,那麼我們去檢驗這最大體積的方式,竟然是考察這最大體積時的高h,考慮其增加(或減少)一個極小量的狀況。同樣的,要找出瞬間的速度或當下所在的斜率是多少,我們也是用這個瞬間,這個當下與無限小之間的關係來考察其狀況。若寫成算式的話,那會是,X表示這個被考察的點,而是趨近於0的極小量。這算式本來的形狀,是Y變化量與X變化量的比值。若Y是體積,X是高,其比值是面;若Y是距離,是時間,其比值是速度;若Y是高度,X是長度,那麼比值就是斜率了。

 

    試想,我如何能將現在所在的點,與現在所在的點做比較呢?同一個東西,是無法比較的,如果是現在所在的點,與一個無限接近現在所在的點的點呢?這差距無限小的比較,所比較出來的比值,可以表示切線斜率,瞬時速度。或說,是我在歷程中,現在,當下的動態。

 

    若以這樣的想法,考慮現在正書寫著的我。微分的行動,無異於對當下現在即是的覺察,在無限接近當下的無限小差距裡的行動。

 

    研究所時,讀到歷史學家陳寅恪先生的一段話:「不為無益之事,何以遣有涯之身。」這看似無益的行動,是無限小的不可分量,是與廣袤無限相呼應,落地於這條線上的有涯之身。

 

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