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十二年級

發佈日期:2020-08-30

我們這一班~十二年級

 

微積分第一                                 

    微積分是「對無窮的了解與掌握而發展出的一套計算方法。」無窮,並不是甚麼新的概念,諸子百家裡的名家,古希臘的哲人,都對無窮好奇,且試圖去了解。

 

    我們舉個生活裡的例子,若以一可以極為快速連拍的相機,將孩子們在籃球場上從出手到投進的畫面以無窮小的時間,拍出無限多張照片,那麼,每一張照片與每一張照片的差別,也是無窮小。若照片與照片之間的差別是難以分辨的無窮小,是否可說,照片1與照片2是幾乎一模一樣的,照片2與照片3是一模一樣的,那麼照片1與照片3也會是一模一樣的。就照這樣的想法走下去,從球出手的照片1經過無限多個步驟後到了投進的最後1張照片,都應該是一樣的,也就是「球從頭到尾都應該還在手上」。這當然不是真的,我們都看見球投進了,有趣的是,這樣「照理來說」與現實間的悖論。

 

    再舉另個例子。我們知道,速度是距離與時間的比值。若是經過了1小時,我們走了10公里,那時速就是10公里。如果在2秒內移動了10公尺,那麼這兩秒間的平均速度就是秒速5公尺,那麼,如果我們想要知道某一個瞬間的速度呢?這個瞬間的速度,必須要是某段距離除以時間,問題是,既然就是某個瞬間,在某一個瞬間裡也不會有時間差距,若沒有時間差距,那也不會有距離差距,「照理來說」,那個瞬間的速度,會是0或是無法說明的分母為0的狀況。但,明明那個東西就在動呀。

 

    較之主流教育,微積分課程在華德福學校的特色,在教學法與主流教育最大的不同是「不侷限於以斜率(Tangent)介紹微積分,而探尋其他的可能」,其中一個開始的問題可以是「一張30公分*30公分的正方形紙,要如何剪裁出最大體積的立方體?」由此所展開的方式,在平面與立體的維度變化(即微分)之間來去,會較傾向萊布尼茲的發現歷程,而非牛頓力學式的發現歷程。

 

    在內涵上與主流教育最大的不同則是,所有的學生都需要學習並經過微積分課程的歷程。經驗無限與無限步驟,從侷限的直線探尋曲線的自由,從更高的維度探尋世界的可能。了解並掌握了無窮小的存在,並以此為內在立足努力的立足點:那接近於0但不是0的存在,即是表面看似無益,但終將帶來更高視野的內在鍛鍊。

 

    我們期待華德福的高中畢業生,可以在數學教育裡,培養不執著於某些景點,而有形變其中,探尋規律的勇氣,涵養探尋更高維度視角的謙卑內在。此勇氣與謙卑的內在,既是微積分的核心概念:「無限小」,也是華德福學生踏實做人做事的立足點基石。

 

江昌倫

 

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