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十一年級

發佈日期:2020-04-05

我們這一班~十一年級

 

C11 海之聲〈投影幾何〉

 

    在平面上任意畫3條線,可將平面分成幾個區域呢?很明顯地,我們看到了7個不同的區域。

 

 

    如果我們讓其中兩條線,成為平行的時候呢? 這時候是6個區域嗎?若是如此,那麼,剛剛的第7個區域到哪裡去了呢?有些學生說:「到無窮遠處去了。」

 

    「無窮遠處似乎是一個很容易拿來解決問題的方式?」然而,真的是如此嗎?若兩條線平行時,其中一個區塊就到了無窮遠處,那到底是甚麼狀況呢?有沒有清楚的、一致的邏輯可以說明變來變去的原因?

 

    當我們說同一個區域時,是怎麼判斷的呢?若我們想像區域裡有無數多個點,那麼,所謂的同個區域,就是其中任意兩點可以以一條線相連。

 

    以一條線來思考呢?是兩個區域嗎?「或是一個區域呢?若考慮到無窮遠處的話。」

 

    「若考慮到無窮遠處的話,那兩條線時,就是2個,而不是4個區域了。」

 

    我們可以將幾條線在考慮無窮遠處與不考慮的狀況列表寫下來:

 

一條線:1個區域(考慮無窮遠),2個區域(不考慮)

二條線:2個區域(考慮無窮遠),4個區域(不考慮)

三條線:4個區域(考慮無窮遠),7個區域(不考慮)

四條線:7個區域(考慮無窮遠),11個區域(不考慮)

五條線:11個區域(考慮無窮遠),16個區域(不考慮)

 

    我們可以發現,左邊與右邊差了一階,左邊會是右邊的前一階狀況,如三條線時,考慮無窮遠是4個區域,卻是不考慮無窮遠的二條線區域數。

 

    那是甚麼原因呢?

 

    在考慮右邊(古典歐幾里得幾何)時,我們無意識地預設了另條線的存在,所謂二條線(在右邊)會是4個區域的原因是,我們預設了這4個區域的「邊界」:也就是「無窮遠線」。

 

    若我們將這條無窮遠線放進考慮時,也就是考慮無窮遠的狀況時,表格左側與表格右側就完全一致了:比如說,二條線的右側,其實是2+1條(無窮遠)線。

 

    意識到無窮遠的存在,不將其誤解為可以解決問題的方便說法,而是將其以清楚一致的邏輯,擴充原有的幾何體系,使其沒有例外,即是投影幾何邁向自由的努力。數學,就是一門既古典又現代的學問,所有新提出的問題在被處理之後,都讓這幾千年的古典學問不斷更新。若以3C軟硬體的想法來說,數學可是超級有責任心,不斷將古典的產品更新到現在的佛心公司呢。

  

最後,提供兩個進一步的問題供各位討論:

  1. 零條線時,左側與右側的狀況會是什麼?之間的關係可以繼續保持一致嗎?
  2. 請仔細以多邊形(3邊、4邊、5邊)等等,來觀察區域變化的狀況,並試著進一步地拓展清楚一致的規律。

 

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