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十二年級

發佈日期:2019-10-20

我們這一班~十二年級

 

親愛的爸爸媽媽,您好

 

    微積分是「對無窮的了解與掌握而發展出的一套計算方法。」無窮,並不是甚麼新的概念,諸子百家裡的名家,古希臘的哲人,都對無窮好奇,且試圖去了解。

 

    我們舉個生活裡的例子,若以一可以極為快速連拍的相機,將孩子們在籃球場上從出手到投進的畫面以無窮小的時間,拍出無限多張照片,那麼,每一張照片與每一張照片的差別,也是無窮小。若照片與照片之間的差別是難以分辨的無窮小,是否可說,照片1與照片2是幾乎一模一樣的,照片2與照片3是一模一樣的,那麼照片1與照片3也會是一模一樣的。就照這樣的想法走下去,從球出手的照片1經過無限多個步驟後到了投進的最後1張照片,都應該是一樣的,也就是「球從頭到尾都應該還在手上」。這當然不是真的,我們都看見球投進了,有趣的是,這樣「照理來說」與現實間的悖論。

 

    再舉另個例子。我們知道,速度是距離與時間的比值。若是經過了1小時,我們走了10公里,那時速就是10公里。如果在2秒內移動了10公尺,那麼這兩秒間的平均速度就是秒速5公尺,那麼,如果我們想要知道某一個瞬間的速度呢?這個瞬間的速度,必須要是某段距離除以時間,問題是,既然就是某個瞬間,在某一個瞬間裡也不會有時間差距,若沒有時間差距,那也不會有距離差距,「照理來說」,那個瞬間的速度,會是0或是無法說明的分母為0的狀況。但,明明那個東西就在動呀。

 

    對於無窮的逐漸了解,在維度的變化與切線斜率的算式推論裡,孩子們「照理來說」應已能在萊布尼茲與牛頓各自的發現路徑裡看到彼此異同。那麼,從課程初始就一直與我們同在的南湖大山旅程,就已過了五岩峰,來到了圈谷,雖然外頭仍是一片霧茫茫,壟罩了整個圈谷。若說基本應用題的操作如同到了圈谷後隔日的休息,那麼三次函數的圖形與泰勒展開式就是東峰與陶塞峰。透過各種方式回看這初次來到的圈谷,以對此地基本的樣貌有所領會,做為未來學習的基礎。我盼望,不僅是「照理來說」的悖論,而是心安理得的豁然開朗,但就如山一樣,孩子們得不斷地走,才能掌握無窮。「天行健,君子以自強不行。如是也。」

 

十二年級微積分主課老師

江昌倫

108.10.20

 

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